ҰБТ мен емтихандарда оқушылар логарифмдік теңдеулердің күрделі алгебралық түрлендірулерін дұрыс орындағанымен, анықталу облысын ескермегендіктен, тапқан жауаптарына бөгде түбірді қосып алып, тиісті ұпайынан айырылып жатады. Логарифмдік теңдеулерді шешудегі сенімділік формуланы жаттаудан емес, ең алдымен математикалық шектеулерді қатаң сақтаудан және жүйелі алгоритмге сүйенуден басталады.
1. Анықталу облысы (АЖО / ММБ): мызғымас іргетас
Логарифм дегеніміз — берілген негізді белгілі бір санға жеткізу үшін шығарылатын дәреже көрсеткіші. Демек, теріс санның немесе нөлдің нақты мәнді логарифмі болмайды, сондай-ақ негіз ретінде 1 санын немесе теріс санды алуға болмайды.
Негізгі логарифмдік өрнек: loga(b)
Бұл өрнек мағынаға ие болуы үшін келесі үш шарт бір мезгілде орындалуы шарт:
- b > 0 (аргумент әрдайым қатаң оң сан болуы тиіс);
- a > 0 (негіз қатаң оң сан);
- a ≠ 1 (негіз ешқашан 1-ге тең болмауы керек, өйткені 1-дің кез келген дәрежесі 1 береді).
Кез келген логарифмдік теңдеуді көргенде алғашқы әрекет — теңдеуді ықшамдау емес, дәл осы шектеулер жүйесін құрып, мүмкін мәндер жиынын (ММЖ немесе АЖО) анықтау болуы қажет.
2. Логарифмдік теңдеулерді шешудің негізгі 4 тәсілі
1-тәсіл. Логарифм анықтамасын қолдану (потенцирлеу)
Егер теңдеу loga(f(x)) = b түрінде берілсе, логарифмнің анықтамасына сәйкес ол f(x) = ab түріне көшеді.
Мысал: log2(3x — 5) = 3 теңдеуін шешейік.
- АЖО: 3x — 5 > 0 => 3x > 5 => x > 5/3.
- Шешуі: Анықтама бойынша: 3x — 5 = 23.3x — 5 = 83x = 13x = 13/3 = 4 1/3.
- Тексеру: 13/3 > 5/3 шарты орындалады, сан АЖО-ға тиісті.
Жауабы: x = 13/3.
2-тәсіл. Бірдей негізге келтіру әдісі (бөгде түбір мысалы)
Теңдеудің екі жағындағы логарифмдердің негізі бірдей болған жағдайда: loga(f(x)) = loga(g(x)) теңдігі f(x) = g(x) түріне ауысады.
Мысал: log3(x + 1) + log3(x — 5) = log3(7) теңдеуін қарастырайық.
- АЖО анықтау:{ x + 1 > 0{ x — 5 > 0Бұдан x > -1 және x > 5. Екі аралықтың қиылысуы: x > 5.
- Түрлендіру: Логарифмдердің қосындысын көбейтіндіге айналдырамыз:log3((x + 1)(x — 5)) = log3(7).
- Потенцирлеу:(x + 1)(x — 5) = 7×2 — 4x — 5 = 7×2 — 4x — 12 = 0.
- Виет теоремасы бойынша квадрат теңдеудің түбірлерін табамыз: x1 = 6, x2 = -2.
- АЖО-мен салыстыру:— x = 6 > 5 — АЖО шартын қанағаттандырады.- x = -2 мәнін алғашқы өрнекке қойсақ, log3(-2 + 1) = log3(-1) болып, теріс санның логарифмі пайда болады, яғни -2 > 5 шарты орындалмайды. Сондықтан x = -2 — бөгде түбір.
Жауабы: x = 6.
3-тәсіл. Жаңа айнымалы енгізу (квадрат теңдеуге келтіру)
Теңдеуде бірдей логарифмдік өрнектер әртүрлі дәрежеде қайталанса, жаңа белгісіз енгізу арқылы есепті жеңілдетуге болады.
Мысал: log52(x) — 3·log5(x) + 2 = 0.
- АЖО: x > 0.
- Алмастыру: log5(x) = t деп белгілейміз. Логарифмнің мәні кез келген нақты сан болуы мүмкін болғандықтан, t айнымалысына таңба бойынша шектеу қойылмайды.
- Теңдеуді шешу:t2 — 3t + 2 = 0Түбірлері: t1 = 1, t2 = 2.
- Бастапқы айнымалыға оралу:1) log5(x) = 1 => x = 51 = 5;2) log5(x) = 2 => x = 52 = 25.
- Екі сан да x > 0 шартын қанағаттандырады.
Жауабы: x = 5; 25.
4-тәсіл. Теңдеудің екі жағын да логарифмдеу
Егер дәреже көрсеткішінде де, негізде де айнымалы кездессе (көрсеткіштік-логарифмдік теңдеу), екі жағын бірдей қолайлы негіз бойынша логарифмдейді.
Мысал: xlog2(x) = 4x.
- АЖО: x > 0.
- Теңдеудің екі жағын да 2 негізі бойынша логарифмдейміз:log2(xlog2(x)) = log2(4x).
- Дәреже көрсеткішін алға шығарып, көбейтінді қасиетін қолданамыз:log2(x) · log2(x) = log2(4) + log2(x)log22(x) — log2(x) — 2 = 0.
- log2(x) = t десек: t2 — t — 2 = 0. Түбірлері: t1 = 2, t2 = -1.
- Айнымалыға қайта ораламыз:log2(x) = 2 => x = 22 = 4;log2(x) = -1 => x = 2-1 = 1/2 = 0.5.
- Екі түбір де x > 0 шартына сай келеді.
Жауабы: x = 0.5; 4.
3. Оқушылар жиі жіберетін қателіктер
1. Дәрежені шығарғанда модуль таңбасын ұмыту
Аргументтегі жұп дәрежені логарифмнің алдына көбейткіш ретінде шығарғанда анықталу облысы өзгеріп кетуі мүмкін. Мысалы, loga(f(x)2n) өрнегінде f(x) ≠ 0 болса жеткілікті. Егер дәрежені 2n · loga(f(x)) деп жазсақ, енді f(x) > 0 шарты талап етіліп, теріс түбірлер жоғалып кетеді.
Дұрыс ереже: loga(x2) = 2·loga|x|. Егер модуль таңбасы қойылмаса, теңдеу түбірлерінің жартысы есептен тыс қалады.
2. Негіздегі айнымалының «≠ 1» шартын ескермеу
Теңдеу негізінде белгісіз шама тұрғанда (мысалы, logx-2(x + 4) = 2), көбіне x — 2 > 0 екенін жазып, бірақ x — 2 ≠ 1, яғни x ≠ 3 шартын ұмытып кетеді. Егер табылған түбір 3-ке тең болса, ол теңдеудің шешімі бола алмайды, өйткені 1 саны логарифмнің негізі бола алмайды.
3. АЖО-ны теңдеуді түрлендіргеннен кейін табу
Қосындыны көбейтіндіге келтіргеннен кейін (мысалы, log(x) + log(x-2) = log(x(x-2))) АЖО тапсаңыз, x(x-2) > 0 теңсіздігі екі теріс санның көбейтіндісін де (+ болып шығатындықтан) қабылдап қояды. АЖО-ны әрқашан бастапқы берілген өрнек бойынша жазу қажет.
4. Логарифмдік теңдеуді шешудің 4 қадамдық тексеру алгоритмі
1-қадам: Шектеу қою (АЖО құру). Теңдеуді өзгертпестен бұрын барлық аргументтердің оң мәнділігін (b > 0) және негіздің шарттарын (a > 0, a ≠ 1) жүйеге алып, шешіңіз.
2-қадам: Әдісті таңдау. Теңдеудің түріне қарай (анықтама, негізге келтіру, жаңа айнымалы немесе екі жағын логарифмдеу) сәйкес математикалық тәсілді қолданыңыз.
3-қадам: Алгебралық есептеу. Алмастырулар жасап, сызықтық немесе квадрат теңдеуді дәл шешіп, түбірлерді анықтаңыз.
4-қадам: Сүзгілеу және тексеру. Шыққан мәндерді 1-қадамдағы АЖО аралығымен беттестіріңіз. Бөгде түбірлерді сызып тастап, тек шектеуге сай келетін мәндерді жауап ретінде жазыңыз.