Квадрат теңдеудің стандарт түрі және дискриминант ұғымы
Кез келген квадрат теңдеу келесідей стандарт түрде жазылады:
ax² + bx + c = 0
Мұндағы x — белгісіз айнымалы, ал a, b, c — нақты сандар (коэффициенттер). Басты шарт: a ≠ 0, себебі a нөлге тең болса, ax² жойылып, теңдеу сызықтық түрге көшеді.
- a — бірінші немесе бас коэффициент (x²-тың алдындағы сан);
- b — екінші коэффициент (x-тің алдындағы сан);
- c — бос мүше (айнымалысы жоқ сан).
Теңдеуді шешуге кіріспес бұрын оның түбірі бар-жоғын және нешеу екенін алдын ала білуге болады. Осыны анықтайтын басты құрал — дискриминант (латынның «discriminans» — «ажыратушы» деген сөзінен шыққан). Ол латынның бас әрпі D арқылы белгіленеді.
Дискриминант формуласы және түбірлер санын анықтау
Дискриминантты есептеудің бірыңғай формуласы:
D = b² — 4ac
D мәнінің таңбасына байланысты квадрат теңдеудің шешімі үш түрлі жағдайда болады:
-
D > 0 болса: Теңдеудің екі түрлі нақты түбірі болады. Түбірлер мына формуламен табылады:
x₁ = (-b + √D) / (2a)
x₂ = (-b — √D) / (2a) -
D = 0 болса: Теңдеудің бір-біріне тең екі түбірі (немесе бір ғана нақты түбірі) болады. √0 = 0 болғандықтан, формула ықшамдалады:
x = -b / (2a) - D < 0 болса: Теңдеудің нақты сандар жиынында түбірі болмайды (шешімі жоқ: x ∈ ∅). Өйткені нақты сандар жиынында теріс саннан жұп дәрежелі квадрат түбір шығару мүмкін емес.
Нақты 3 жағдайға қадамдық мысалдар
Кез келген есепті шығарғанда мына 3 қадамнан тұратын алгоритмді бұлжытпай орындаңыз: 1) Коэффициенттерді анықтау; 2) D мәнін табу; 3) Түбірлерді есептеу.
1-мысал: D > 0 жағдайы (екі нақты түбір)
Теңдеу: 2x² + 5x — 3 = 0
1-қадам. Коэффициенттерді таңбасымен жазып аламыз:
a = 2, b = 5, c = -3.
2-қадам. Дискриминантты есептейміз:
D = b² — 4ac
D = 5² — 4 · 2 · (-3)
D = 25 — (-24) = 25 + 24 = 49.
D > 0, демек теңдеудің екі нақты түбірі бар. √D = √49 = 7.
3-қадам. Түбірлердің мәнін табамыз:
x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 7) / (2 · 2) = 2 / 4 = 0.5
x₂ = (-b — √D) / (2a) = (-5 — 7) / (2 · 2) = -12 / 4 = -3.
Жауабы: x₁ = 0.5; x₂ = -3.
2-мысал: D = 0 жағдайы (бір нақты түбір)
Теңдеу: 4x² — 12x + 9 = 0
1-қадам. Коэффициенттерді анықтаймыз:
a = 4, b = -12, c = 9.
2-қадам. Дискриминантты табамыз:
D = b² — 4ac
D = (-12)² — 4 · 4 · 9
D = 144 — 144 = 0.
D = 0 болғандықтан, теңдеудің жалғыз түбірі бар.
3-қадам. Түбірді табамыз:
x = -b / (2a) = -(-12) / (2 · 4) = 12 / 8 = 1.5.
Ескерту: Бұл теңдеу қысқаша көбейту формуласы бойынша (2x — 3)² = 0 түріне де оңай келеді.
Жауабы: x = 1.5.
3-мысал: D < 0 жағдайы (нақты түбірлері жоқ)
Теңдеу: 3x² — 2x + 5 = 0
1-қадам. Коэффициенттер:
a = 3, b = -2, c = 5.
2-қадам. Дискриминантты есептейміз:
D = b² — 4ac
D = (-2)² — 4 · 3 · 5
D = 4 — 60 = -56.
D < 0 шықты.
3-қадам. Қорытынды жасаймыз:
Теріс саннан түбір шықпайтындықтан (√-56 нақты сандарда анықталмаған), теңдеудің нақты сандар жиынында шешімі жоқ.
Жауабы: Нақты түбірлері жоқ (немесе x ∈ ∅).
БЖБ/ТЖБ кезінде оқушылар жиі жіберетін 4 өрескел қателік
Тесттер мен емтихандарда есептің дұрыс шықпауы көбіне формуланы білмеуден емес, қарапайым арифметикалық ұқыпсыздықтан туындайды. Мына 4 қателікке ерекше назар аударыңыз:
- Коэффициенттің таңбасын жоғалту: Егер теңдеу x² — 7x + 10 = 0 болса, b коэффициенті 7 емес, -7-ге тең. Сондай-ақ түбірді тапқанда -b алдындағы минус формуланың өзінде бар екенін ұмытпаңыз: -(-7) = +7 болады.
- Бөлімдегі «2a» орнына жай ғана 2-ге бөлу: Теңдеулердің көбінде a = 1 болып келетіндіктен, оқушылар автоматты түрде бөлімін 2-ге бөле салады. Бірақ бірінші мысалдағыдай a = 2 немесе a = 4 болса, бөлімі 2 · 2 = 4 немесе 2 · 4 = 8 болады. Бөлімге тек 2-ні жазу — үлкен қате.
- Теріс санның квадратын теріс деп жазу: Дискриминантты есептегенде b = -4 болса, оқушылар көбіне (-4)² = -16 деп қателеседі. Есіңізде болсын: кез келген санның квадраты әрқашан оң сан немесе нөл болады. (-4)² = (-4) · (-4) = +16.
- Теңдеуді нөлге теңестірмей бастау: Егер есеп 3x² + 5x = 2 түрінде берілсе, бірден a = 3, b = 5, c = 2 деп алуға болмайды. Алдымен барлық мүшені сол жаққа өткізіп, 3x² + 5x — 2 = 0 стандарт түріне келтіріп алу шарт (бұл ретте c = -2 болады).
Есептеуді екі есе жеңілдететін лайфхак: Жұп b коэффициенті
Егер екінші коэффициент b — жұп сан болса, сандарды тым үлкейтіп көбейтпеу үшін ықшамдалған формуланы (D₁ немесе D/4) қолданған тиімді:
k = b / 2 деп белгілеп аламыз. Онда:
D₁ = k² — ac
Түбірлер формуласы да қысқарады (бөлімінде 2 болмайды):
x₁,₂ = (-k ± √D₁) / a
Мысал: x² — 8x + 12 = 0
Мұнда a = 1, b = -8 (жұп сан), c = 12.
k = -8 / 2 = -4.
D₁ = (-4)² — 1 · 12 = 16 — 12 = 4. (√D₁ = 2).
x₁ = (-(-4) + 2) / 1 = 4 + 2 = 6.
x₂ = (-(-4) — 2) / 1 = 4 — 2 = 2.
Бұл әдіс, әсіресе, коэффициенттер үлкен болғанда есептеу уақытын айтарлықтай үнемдейді.
Нәтижені тексеру және жылдам жадынама
Есепті шығарып болған соң жауаптың дұрыстығына сенімді болу үшін екі тексеру жолын пайдаланыңыз:
- Теңдеуге апарып қою: Табылған түбірді теңдеудегі x-тің орнына қойып есептегенде, нәтиже 0 = 0 болуы керек.
- Виет теоремасымен тексеру: Егер теңдеу келтірілген болса (a = 1), түбірлердің қосындысы x₁ + x₂ = -b, ал көбейтіндісі x₁ · x₂ = c шартын қанағаттандыруы тиіс. Жоғарыдағы мысалда: 6 + 2 = 8 (-(-8)), ал 6 · 2 = 12. Нәтиже дәл шықты.
Жылдам жадынама: Әр есепті шығарғанда теңдеуді ax² + bx + c = 0 түріне келтіріңіз, таңбаларды мұқият тексеріңіз, алдымен D-ның таңбасын анықтап алып, содан кейін ғана түбірлерді есептеуге кірісіңіз.